Matematyka w grach

Jak wynika z rozważań, przedstawionych w poprzednim odcinku, najwyższe wyniki udaje się uzyskać na planszach, na których są duże pastwiska. Dotyczy to przede wszystkim gry z udziałem 4 osób, bo w grze dwuosobowej zależność liczby punktów od wielkości pastwisk nie jest już tak bardzo odczuwalna. Ale nie każda plansza z dużymi pastwiskami pozwala na uzyskanie wysokiej średniej. Tak jest np. w przypadku planszy nr 1, która mimo układu pastwisk 5+1 daje stosunkowo słabe wyniki. Z kolei plansza nr 5, z układem pastwisk 3+3, jest jedną z lepszych, szczególnie w grze dwuosobowej. Zapewne decydujący wpływ ma tu liczba regionów, na które ...

W poprzednim odcinku pisałem o tym, że niektóre elementy punktacji, takie jak niewykorzystane grudki srebra, niewykorzystani robotnicy, sprzedane i niesprzedane towary oraz premie za ukończenie koloru, nie zależą od planszy. I tylko punkty za towary zależą, i to w niewielkim stopniu, od liczby graczy. Oceniam, że wymienione wyżej elementy punktacji dają graczowi średnio 40-50 punktów, co stanowi jakieś 20-25% ich ogólnej liczby. Źródła różnic w średniej liczbie zdobywanych punktów tkwią więc w pozostałych elementach punktacji. Przypomnę teraz tabelkę, od której zaczynał się pierwszy odcinek, rozszerzoną o kolumny, charakteryzujące poszczególne plansze.

Celem moich rozważań jest znalezienie przyczyn tego, że na różnych planszach i przy różnej liczbie graczy średnie wartości liczby zdobytych punktów wykazują statystycznie widoczne różnice. Skoro zajmuję się wartościami średnimi, będę też uśredniał ,czyli rozdzielał po równo między graczy np. punkty zdobywane dzięki żetonom nauki, choć w rozgrywce przypisane są do konkretnych uczestników.

Od Redakcji: Jak wszyscy wiemy, tytuł Gry Roku 2018 zdobyła wybitna gra kościana Stefana Felda Zamki Burgundii, wydana w Polsce przez Rebel. Korzystając z doniosłości tego wydarzenia, zamieszczamy pierwszy odcinek kolejnego artykułu pana Michała Stajszczaka traktującego o matematyce w grach. Tym razem dowiemy się, które plansze i dlaczego potrafią przynieść nam najwięcej punktów. Zapraszamy do miłej analitycznej lektury! :)

Część druga… Truel Jest to neologizm, oznaczający pojedynek z udziałem trzech osób (tri-duel). Załóżmy, że biorą w nim udział gracz A, trafiający z prawdopodobieństwem 0,8, gracz B z celnością 0,6 i gracz C, ze skutecznością strzału 0,4. Gracz, na którego przypada kolejka, wybiera do kogo będzie strzelał. Autorzy proponują czytelnikom książki przeprowadzenie eksperymentu przy użyciu kostki k10 dla różnych kolejności strzelania i „zdziwienie się” wynikami…

Od czasu do czasu pojawiają się na forum prośby o wskazanie gier wieloosobowych „z silną negatywną interakcją”. Można z tego wnioskować, że dla niektórych (a może nawet dla wielu) graczy, negatywna interakcja jest właściwością pożądaną, a brak negatywnej interakcji dyskwalifikuje gry. Ten tekst przedstawia opinię, jaką na temat negatywnej interakcji i jej konsekwencji mają George Skaff Elias, Richard Garfield i K. Robert Gutschera, projektanci gier z wydawnictwa Wizards of the Coast. Materiał pochodzi z książki Characteristics of Games, będącej zapisem wykładów pod tym samym tytułem, prowadzonych przez autorów na Uniwersytecie stanu Washington w latach 2006-09.

Grając z dziećmi w większość gier, poza oczywiście grami czysto losowymi, mamy często problem, jak zmodyfikować zasady, żeby dziecko miało jakiekolwiek szanse na zwycięstwo. Memory jest pod tym względem grą wyjątkową. Nawet przedszkolaki zazwyczaj wygrywają z dorosłymi. Dlaczego tak się dzieje? Są na ten temat różne hipotezy. Być może dzieci potrafią bardziej skupić się na rozgrywce, a dorośli są bardziej podatni na różne zewnętrzne bodźce, odwracające uwagę i dekoncentrujące? A może z mózgiem człowieka jest podobnie, jak z pamięcią komputera – dziecko ma duże bloki niczym jeszcze nie zapisane, a dorosły ma mózg „pofragmentowany” i przez to pamięć działa mniej ...

Metody matematyczne mogą być wykorzystywane nie tylko do analizowania przebiegu rozgrywki, ale także do stworzenia odpowiedniego zestawu rekwizytów.  Czasami jednak są z tym pewne problemy, bo zagadnienia kombinatoryczne mają tendencje do niesamowicie szybkiego wzrostu. Jakie to może wywołać efekty, pokazuje wypowiedź, która pojawiła się w kwietniu 2012 na forum grupy Monsoon, podczas prac nad grą Znaj znak: „Niestety algorytm „brute force” w tym przypadku zupełnie odpada, oszacowałem czas generowania wszystkich kart w ten sposób i wyszła liczba rzędu 10^9 lat.”

Dotychczas pisałem głównie o tym, co się dzieje w wieży. Dla gracza istotniejsza jest informacja o tym, jakie kostki z niej wypadają. Wynika to oczywiście z roli, jaką w grze Amerigo pełni wieża. A przypominam, że jest ona generatorem losowości i określa, jakie akcje gracze mogą w danej fazie wykonać i ile razy można przeprowadzić wybraną akcję. Dostępne akcje wyznaczane są przez kolory kostek, które wypadły z wieży, a liczbę akcji limituje liczba kostek w najliczniejszym kolorze. Rozkłady tych zmiennych losowych wyznaczyłem z symulacji 20 rozgrywek, czyli z tych samych danych, z których korzystałem w poprzednim odcinku. 

W poprzednim odcinku opisałem, jak działa wieża podczas przygotowania gry. Teraz chciałbym zająć się analizą działania wieży w trakcie rozgrywki. Przypominam, że rozgrywka Amerigo składa się z 5 rund, a każda runda z 7 faz. Każda faza gry rozpoczyna się wrzuceniem do wieży wszystkich leżących na planszy kostek jednego koloru. Jaki to kolor, zależy od numeru fazy. Można więc powiedzieć, że po początkowym wrzuceniu do wieży wszystkich kostek, następuje 35 zdarzeń, polegających na wrzuceniu do wieży od 0 do 7 kostek. Oczywiście „wrzucenie zera kostek” oznacza, że w danej fazie wrzucenie kostek nie następuje, bo na planszy nie ma ani ...