Matematyka w grach

Felietony w dziale „Matematyka w grach” opisują zwykle zastosowanie matematyki do analizy zagadnień, występujących w różnych grach planszowych. Tym razem chciałbym pokazać sytuację odwrotną – jak gra domino przyczyniła się do rozwiązania dwóch zagadnień naukowych.

Zamieszczony tydzień temu artykuł o grze Pitagoras zaczynał się od nawiązania do majowego sezonu egzaminów w szkołach podstawowych i średnich. Dzisiejszy tekst również dotyczy gry matematycznej ale bardziej zaawanasowanej, pasującej do matury z matematyki na poziomie rozszerzonym.

Sprawa zaczęła się chyba od moich komentarzy pod recenzją gry Pitagoras. Sugerowały one, że gra mogłaby się stać bardziej atrakcyjna, gdyby dopuścić większy zakres działań. Redakcja Games Fanatic poszła tym tropem i ogłosiła konkurs, w którym wylosowaną na kostkach liczbę można układać z liczb na kartach korzystając ze wszystkich znanych uczestnikom działań.

Co łączy takie gry, jak Książęta Florencji, Wyspa Kotów, Patchwork i Ubongo? Wszystkie te gry (i jeszcze ponad 200 innych) wykorzystują figury geometryczne zwane po angielsku polyominoes. Jaki jest polski odpowiednik tego słowa? Jeszcze nie wiadomo. Spotkałem się z nazwami polimino, poliomino i wielomino. A jak to wygląda w innych językach? W niemieckim, francuskim i holenderskim używa się angielskiej nazwy polyomino, we włoskim, portugalskim, rosyjskim, ukraińskim i estońskim – polimino, a w hiszpańskim poliomino. Najdziwniejsza jest nazwa plurkvadrato w języku esperanto.

Na pierwszy rzut oka Scrabble to gra humanistyczna, w której decydującą rolę odgrywa zasób słownictwa, a matematyka sprowadza się do prostych działań – sumowania punktów za litery i ewentualnie mnożenia, gdy układany wyraz przechodzi przez pole premii literowej lub słownej. W tym tekście postaram się wykazać, że do dokładniejszej analizy gry matematyka jest przydatna, a nawet niezbędna.

Wiele osób uważa, że szczęście jest przeciwieństwem umiejętności. Przy komentowaniu wydarzeń sportowych często zdarzają się dyskusje, czy np. nietypowo zdobyta bramka to efekt szczęścia czy umiejętności, choć zazwyczaj prawidłowym wnioskiem byłaby kombinacja obu tych czynników. Patrząc na grę jako całość można uznać, że szczęście i umiejętności są od siebie niezależne (mówiąc językiem matematyków: ortogonalne).

Źródła losowości Przyczyny losowości mogą być różne. Najbardziej oczywisty to istnienie losowych mechanizmów, które zmieniają pewne parametry gry w sposób nieprzewidywalny dla graczy. W grach planszowych są to najczęściej kostki i karty. Wiele gier, nie mających jawnie losowych elementów, może mieć losowość w fazie setupu, np. określenie, kto będzie zaczynał czy w jakiej kolejności gracze będą wykonywali ruchy. W turniejach dużą rolę może odgrywać losowanie przeciwników. A w pokerze rozgrywka bywa całkiem inna, gdy do stołu, przy którym siedzą sami eksperci, dołączy jeden początkujący gracz.

Niedawno na forum został założony kolejny wątek o losowości w grach. Postanowiłem przedstawić to zagadnienie, a właściwie problem nieco ogólniejszy, w sposób naukowy. Naukowy, ponieważ będą to fragmenty tekstu, opracowanego przez doktora matematyki, a jednocześnie znanego projektanta gier, Richarda Garfielda. Konkretnie jest to rozdział, zatytułowany „Indeterminacy”, z książki Characteristics of Games (współautorzy: George Skaff Elias i K. Robert Gutschera), będącej zapisem wykładów pod tym samym tytułem, prowadzonych przez autorów na Uniwersytecie stanu Washington w latach 2006-09. Ponieważ rozdział ma 30 stron, przedstawię go w kilku odcinkach.

Jednym z efektów pandemii zbrodniczego koronawirusa była konieczność przerwania różnych rozgrywek sportowych. Problemem w takich sytuacjach bywa często to, jak podzielić przyznawaną za zwycięstwo nagrodę. Nie jest to zagadnienie nowe, bo po raz pierwszy zostało opisane już ponad 500 lat temu, gdy epidemie były częstsze, a ich skutki znacznie bardziej dotkliwe.

Do przeanalizowania zostały jeszcze dwa źródła punktów – za wielkość zamykanego regionu i za fazę, w których region został zamknięty. Wielkość zamykanego regionu punktowana jest nieliniowo, według szeregu liczb trójkątnych. Mogłoby się więc wydawać, że premiuje to plansze, na których są duże regiony. Tak jednak nie jest, co można zauważyć, analizując tabelkę, przedstawioną w 3 odcinku tego cyklu artykułów. Na planszach z dużymi regionami wyniki są raczej poniżej średniej, oczywiście z wyjątkiem przypadków, gdy tymi dużymi regionami są pastwiska.